Slice, hook, fore och Magnuseffekten!

Vi amatörgolfare är ständigt på jakt efter den perfekta träffen för att få bollen att gå rakare och längre. Världseliten hanterar å andra sidan skruven med en sådan precision att de i princip alltid föredrar att spela med lite skruv. Det är inte bara sidoskruv som hanteras, utan också skruven på bollen i vertikalled, vilket kallas att ”sätta spinn” på bollen.

Magnuseffekten gör att bollen stiger kraftigt efter utslaget för att sedan landa brant för att förhoppningsvis inte rulla av greenen. Världseliten slår de korta slagen med så mycket spinn att bollen till och med rullar bakåt efter nedslaget på greenen. Vi utreder fysiken och vi försöker att förutspå bollbanan på ett golfslag då vi vet bollhastighet, elevationsvinkel och spinntal efter bollträffen.

Nya hjälpmedel för golfare och TV-tittare

När vi tittar på golf på TV kan vi ibland se hur golfbollens bana ritas upp i realtid i bild. Om du köper nya golfklubbor som är anpassade efter just dig kommer utprovaren med största sannolikhet använda sig av utrustning från företaget Trackman för att få information om bollhastighet, bollflykt, svinghastighet och mycket mer. All data samlas in genom att slå en golfboll in i en vägg från cirka 10 meters avstånd. Med dessa mätmetoder förutspås bollbanan genom att mäta hur golfbollen beter sig under bråkdelen av en sekund. Vi går inte in i detalj på tekniken som används av ovanstående företag, utan kommer istället att försöka förutse bollbanan med fysikkunskaper, matematik och simuleringsprogrammet COMSOL Multiphysics.

Magnuseffekten, lyftkraft och luftmotstånd

När en boll rör sig genom luften samtidigt som den roterar accelereras den vinkelrätt mot rörelseriktningen. Detta fenomen kallas Magnuseffekten och används i de flesta bollsporterna. Min fotbollstokiga kollega (och likväl CTO på COMSOL) publicerade en mycket läsvärd artikel till förra fotbolls-VM, där han i detalj beskriver Magnuseffekten.
Vi vet alltså att ju mer spinn golfspelaren sätter på bollen, desto högre lyftkraft får den. Vi vet också att luftmotståndet på en kropp ökar ungefär med hastigheten i kvadrat. Men hur mycket lyftkraft och luftmotstånd har en golfboll? Låt oss undersöka detta med en CFD-beräkning (Computational Fluid Dynamics) med COMSOL Multiphysics och dess CFD Module.

Mer simulering:
Spelar bollen någon roll i fotbolls-VM?
Vilken vinkylare väljer du?
Så placeras grillkolen rätt!

Slå som världseliten

Trackman har publicerat data på hur värdsseliten slår sina bollar med olika klubbor och tabellen nedan är ett utdrag av data från deras hemsida:

Vi väljer att enbart studera en Pitching Wedge (PW) som är den klubba som används för närspel och har högst spinntal. För att beräkna lyftkraften och vindmotståndet behöver vi följande indata:

• En geometri av en golfboll.
• Bollhastighet. Bollen lämnar klubban med 102 miles per hour (mph) vilket motsvarar 166 km/h.
• Spinntal.
• Luftens egenskaper som är beroende av temperaturen och trycket. Vi ansätter att temperaturen är 20 grader Celsius och trycket till en atmosfär. Luftfuktigheten har också en mindre påverkan, men vi bortser från detta i modellen.

En golfboll är i luften under cirka 5 sekunder och spinntalet minskar med tiden. I ett nyhetsbrev från Trackman 2010 sägs det att spinntalet minskar med cirka 4% per sekund. Om vi antar att detta stämmer skulle spinntalet för en PW minska från 9304 varv per minut till cirka 7500 varv per minut vid landning. Därför skulle vi alltså även behöva undersöka hur lyftkraften och luftmotståndet förändras med spinntalet för att skapa en bra modell av verkligheten.

Golfboll enligt regelboken

En golfboll måste följa vissa standarder för att vara godkänd enligt regelboken. Diametern får till exempel vara maximalt 42,76 mm och vikten får inte överstiga 45,93 gram. Golfbollens yta är försedd med utgröpningar vilket på engelska benämns som ”dimples”.  Dessa skapar ett turbulent gränsskikt kring bollen och ger bollen överlägsna areodynamiska egenskaper jämfört med om bollen vore helt slät. Detta minskar luftmotståndet kraftigt. Tillverkarna har olika design på dimples och antalet brukar variera med ungefär 300-450 stycken per boll. Dessutom kan dimples ha olika form och storlek för att golfbollen ska få en viss aerodynamisk karaktär.

Vi väljer att skapa en boll med 362 dimples, där varje enskild dimple har diametern 3 mm och djupet 0.3 mm.

CFD-simuleringen beräknar luftmotstånd och lyftkraft

Målet med CFD-simuleringen är att ta fram luftmotstånd och lyftkraft som funktion av både spinntal och bollhastighet. Vi behöver denna information för att kunna förutsäga bollflykten.  När geometrin av golfbollen är skapad är det dags att definiera fysiken. Eftersom vi enbart kommer att studera hur golfbollen rör sig framåt, uppåt och nedåt, men inte i sidled kan vi använda oss av symmetri och dela bollen mitt itu för att spara beräkningstid. Vi vet att hastigheten kommer att variera från 103 miles per hour (mph) till en lägre hastighet när den träffar marken och vi kommer därför att variera hastigheten från 10 mph till 110 mph. Vi vet också att rotationshastigheten kommer att variera från 9304 varv per minut (rpm) ner mot cirka 7500 rpm vid landning. Vi måste ta hänsyn till det turbulenta luftflödet runt bollen och detta görs genom att använda en turbulensmodell som kallas SST (Shear Stress Transport) som finns inbyggd i CFD Module. Vi löser problemet stationärt och varierar bollhastigheten och rotationshastigheten.

Resultat från CFD-simuleringen

Med hjälp av resultaten från CFD-simuleringarna kan vi enkelt ta fram krafterna som påverkar bollen, det vill säga lyftkraften och luftmotståndet. Bollen påverkas också naturligtvis av gravitationen.

Resultaten från simuleringarna kan visualiseras med olika typer av plottar och färgskalor. Det kanske tydliga sättet att åskådliggöra Magnuseffekten är genom att titta på strömlinjerna runt golfbollen som i figuren nedan där bollhastigheten har varierats, men har det konstanta spinntalet 9304 varv per minut.

Graferna nedan visar simuleringsresultaten från flera analyser där även rotationshastigheten och bollhastigheten har varierats. Notera att vi har använt oss av en RANS-modell (Reynolds-averaged Navier–Stokes equations) och att resultaten inte är 100% noggranna, men överensstämmer tillräckligt väl med verkligheten för att användas till nästa analys där bollbanan studeras.

Beräkna bollbanan med Particle Tracing Module

Vi har nu tillräckligt med information för att kunna förutspå bollbanan utan mätningar och istället använda följande indata:

• Bollhastighet. Bollen lämnar klubban med 102 miles per hour (mph).
• Elevationsvinkel. Bollen lämnar klubban med vinkeln 24.2°.
• Spinntal. Bollen roterar initialt med 9304 varv per minut och spinntalet minskar med 4% per sekund.
• Lyftkraft och luftmotstånd från CFD-analysen som är beroende av både spinntal och hastighet.

Mer simulering:
Spelar bollen någon roll i fotbolls-VM?
Vilken vinkylare väljer du?
Så placeras grillkolen rätt!
 

Med Particle Tracing Module som är en tilläggsprodukt till COMSOL Multiphysics är det enkelt att mata in ovanstående data och beräkna bollbanan. Eftersom bollens hastighet varierar i x- och y-led under bollflykten använder vi trigonometri för att få riktningarna på krafterna korrekta. Lyftkraft och luftmotstånd tas in som interpolationsfunktioner.

I animeringen nedan kan vi se att bollen landar efter 116 meter. Enligt resultatet i tabellen från Trackman skulle bollen flyga i snitt 124 meter, så vi har inte helt kunnat förutspå bollbanan. Å andra sidan har vi gjort många antaganden och vi har till exempel byggt vår helt egenutvecklade golfboll, som är långt ifrån optimerad och har troligtvis en mycket högre luftmotståndskoefficient än en riktig golfboll. Tillverkare av golfbollar har spenderat tusentals och åter tusentals timmar på att skapa en geometriskt optimerad golfboll. Våra CFD-analyser med RANS är inte helt perfekta, då vi egentligen skulle behövt använt oss av DNS (Direct Numerical Simulation) för att få noggrannare resultat, men det skulle samtidigt kosta mycket mer i beräkningstid. Vi vet inte heller vilken temperatur och tryck som har använts vid mätningarna. Vi använde oss av atmosfärstryck och 20 grader Celsius. Det är värt att notera att man räknar med att lägga till upp mot 15% i extra längd när spelarna möts på golfbanan i Mexico City som ligger över 2000 meter över havet. Detta är självfallet en ytterligare parameter som är möjlig att lägga till i modellen.